Wiskunde II

Professor: Arno Kuijlaars
Wat? Hoorcollege

Studiepunten: 6
Examenvorm: schriftelijk
Examenperiode: juni
Brossen of niet? je zal er niet van sterven

Hoewel de meeste Hollanders gekend staan als luidruchtige en uitbundige mensen, is professor Kuijlaars nogal verlegen en stil. Maar zijn taalgebruik verraadt hem, met zinnen als “die functie gaat hartstikke naar nul”. De lessen zijn niet altijd even interessant en nodig, maar de prof doet wel altijd goed zijn best. Tegenwoordig wordt dit vak gegeven door Ann Speelman. De oude examenvragen zijn beschikbaar op Toledo of hier

Sinds enkele jaren wordt dit vak gegeven door An Speelman.

2023

Juni

Examen

• Gegeven de rechte L met cartesise vergelijking en parameter a.
  • Bepaal de parametervergelijking van het vlak V, loodrecht op de rechte L en door het punt (1,1,1). De vergelijking van de rechte L: y=0 ; ax-z=0
  • Bepaal de Cartesische vergelijking van het vlak V (uit vraag a), loodrecht op de rechte L en door het punt (1,1,1)
  • Voor welke waaarde(n) van de parameter a ligt punt (3,0,2) in het vlak V?
  • Geven de matrix A met parameter p: voor welke waarde(n) van p is de matrix A inverteerbaar?
  • Een matrix A heeft de eigenwaarden 0 en 1 en de respectievelijke eigenvectoren (0 1) en (1 1). Bepaal A^100.
• Gegeven de oneven 2pi periodieke functie op het interval [0, pi] weergegeven door f(x)= -x/2 voor 0<=x<pi en 0 voor x=pi.
  • Schets de functie op het interval [-5pi, 5pi].
  • Bereken de fourierreeks van deze functie.
  • S is het gebied van de kegel met vergelijking z^2=x^2+y^2 tussen het vlak z=4 en het vlak z=16. Los de oppervlakte-intergaal op. Het veld F=x+xy+yz+z
• Het veld F=(cos x, x+y) en het gebied dat afgebakend is door y^2=4-x en y^2=4-4x:
  • Bepaal een goede parametrisatie voor de rand van het gebied en bepaal daaruit de lijnintegraal.
  • Los de intergaal uit a op met behulp van de stelling van Green. Je hoeft deze niet volledig uit te rekenen, je kan de oppervlakte van D bepalen uit je antwoord in vraag a.
  • F is niet conservatief. Bepaal een veld G zodat G+F wel conservatief is en bepaal de potentiaal van G+F.

Matlab

• Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen: dy1/dt=4*sin(0.2y1)+2(1-y2^2)y1-y2 en dy2/dt=y1
  • Maak een functie met de naam stelsel.m waarin je het stelsel differentiaalvergelijkingen programmeert.
  • Maak een script met de naam figuren.m waarin je het stelsel differentiaalvergelijkingen oplost en twee figuren maakt. Deel het script op in drie sections als volgt (je begint een nieuwe section met (%%):
    • Section 1: Los het stelsel differentiaalvergelijkingen op met beginvoorwaarden y1(0)=-4 en y2(0)=2 en tijdsinterval [0,30].
    • Section 2: Maak een eerste figuur waarin je de oplossingen van y1 en y2 samen op één venster plot. Plot de grafiek van y1 in een blauwe streeplijn en de grafiek van y2 in een rode volle lijn. Noem de assen respectievelijk t en y. Maak een legende.
    • Section 3: Maak een tweede figuur waarin je een faseportret maakt. Zorg ervoor dat je een pijl tekent in elk punt bepaald door de volgende vectoren: -7:0.3:6 en -3:0.2:3. Teken in deze figuur ook de trajectorie met de gegeven beginvoorwaarde. Benoem de assen. Kies zelf een logische naam voor elke as.
• Een pretpark hanteert verschillende toegangstarieven als volgt:
  • De dagprijs is 40 euro vanaf 12 tem 64 jaar. Kinderen vanaf 3 tem 11 jaar en ouderen vanaf 65 jaar betalen 32 euro per dag. Kinderen tem 2 jaar krijgen gratis toegang.
  • Het is ook mogelijk om het pretpark twee aneensluitende dagen te bezoeken in combinatie met een overnachting. Een overnachting kost 50 euro per persoon (onafhankelijk van de leeftijd). Daarnaast moet de bezoeker ook tweemaak een dagtarief betalen. Echter krijgen zij een korting van 20% op de dagprijs. Bv een bezoeker van 70 jaar betaalt voor twee aaneensluitende dagen met overnachting 50 euro + 2x25.6 euro=101.2 euro. Voer de volgende opdrachten uit.
    • Maak een functie met de naam inkomsten.m met als input een 2xn matrix B. De input stelt een lijst van n bezoekers voor. Op elke kolom staan de gegevens van één bezoeker. In de eerste rij staat de leeftijd. In de tweede rij staat het cijfer 1 of 2. Het cijfer 1 betekent dat de bezoeker slechts één dag blijft. Het cijfer 2 betekent dat de bezoeker blijft overnachten en het pretpark twee aaneensluitende dagen bezoekt. De output van de functie is een getal dat de inkomsten horende bij de bezoekersmatrix B weergeeft. Je mag veronderstellen dat de inputmatrix steeds een geldige bezoekersmatrix is (dus een matrix met twee rijen waarvan de eerste rij leeftijden bevat en de tweede rij enkel de cijfers 1 en 2.)
  • Maak een script met de naam bezoekers.m waarin je het volgende doet:
    • Definieer de variabele B en bewaar hierin de bezoekersmatrix [31 7 2 75 80 18 15 33 65 44; 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2]
    • Bereken dan met behulp van de functie inkomsten.m de inkomsten horende bij deze bezoekersmatrix. Bewaar het resultaat in de variabele I. ***Print de volgende string waarbij je gebruik maakt van de variabele I. De inkomsten zijn gelijk aan 614.4 euro. Als je het script bezoekers.m runt, zou je dus het volgende moeten zien:
    • >>bezoekers De inkomsten zijn gelijk aan 614.4 euro.